Mastaroth Website - A7) Conclusion - Annexes

A7) Conclusion - Annexes - Sources

Écrit par Mastaroth

04-02-2008

CONCLUSION

Merci à C.Bourdoncle et L.Favre pour leur participation à la rédaction de cet article

La synthèse sonore occupe une place de choix autant pour les compositeurs que pour les scientifiques.

L’intérêt du compositeur pour la synthèse réside dans la possibilité d’organiser le matériau sonore comme il l’entend. Les possibilités de la synthèse sonore s’étendent ainsi de la génération du son (création), en passant par «l’hybridation » pour réaliser des sonorités intermédiaires (interpolation) jusqu’au dépassement des limites des instruments naturels (extrapolation).

L’intérêt du scientifique recouvre deux objectifs : accroître nos connaissances relatives à la génération et à la perception des sons (simuler pour mieux comprendre) et imaginer des systèmes capables de structurer et de modifier ces connaissances (comprendre pour mieux simuler, interpoler et extrapoler).

Il y a encore quelques années, on distinguait musique « électronique » et acoustique ou analogique. La musique électronique était alors destinée à un public d’amateurs avertis. Souvent répétitive, elle était constituée de sons relativement pauvres en harmoniques.

Aujourd’hui, cette différence disparaît peu à peu ; l’amélioration des performances permet d’effectuer des traitements complexes en temps réel et ces technologies sont largement utilisées dans la plupart des compositions modernes.

La nouvelle tendance est même de mélanger les styles ; on considère maintenant que la musique et les traitements réalisés par l’intermédiaire d’appareils électroniques peuvent apporter beaucoup de richesse à une composition acoustique : nouvelles possibilités d’effets sur les guitares et même création d’instruments nouveaux …

ANNEXES

Le théorème de Shannon

"L'information véhiculée par un signal dont le spectre est à support borné n'est pas modifiée par l'opération d'échantillonnage à condition que la fréquence d'échantillonnage soit au moins deux fois plus grande que la plus grande fréquence contenue dans le signal.

La reconstitution du signal original peut être effectuée par un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure égale à la moitié de la fréquence d'échantillonnage."

Démontrons ce théorème.

Soit f(t) un signal dont le spectre est à support borné :

F(w) = 0 pour |w| > w_max , avec :

Notons que le module du spectre d'un signal à valeurs réelles est une fonction paire de la fréquence, ce qui justifie la symétrie en "w" de la condition.

Illustration :

Le signal échantillonné à la cadence T_e est :

étant la distribution de Dirac

Son spectre est :

(1)

Cette expression exprime la répétition périodique du spectre. On peut aussi écrire la transformée de Fourier du signal échantillonné sous la forme :

qui est aussi :

et en définitive :

(2)

Or, le fait que F(w) soit à support borné nous autorise à écrire :

F(w) = T_e . F^*(w) pour |w| < w_max ; F(w) = 0 pour |w| > w_max (3)

sous la condition que : w_e - w_max> w_max , soit : w_e > 2. W_max (condition de Shannon)

Illustration :

On peut écrire la transformée inverse de Fourier de F(w):

, car F(w) est nulle en dehors de cet intervalle.

Et aussi en vertu de (3) :

, soit encore :

L'intégrale vaut : 2.w_max . sinc [w_max.(t-n.T_e)] , ce qui donne pour f(t) :

Cette dernière égalité signifie que f(t) est entièrement déterminé par la connaissance de ses échantillons (en nombre infini ...) aux instants n.T_e et que la fonction sinus cardinal sert à relier les échantillons ; on l'appelle parfois "fonction d'interpolation de Shannon". Il n'y a donc pas de perte d'information si (et seulement si) l'on possède tous les échantillons ; ceci est le cas puisqu'on possède f^*(t) après l'opération d'échantillonnage.

Afin de générer les fonctions sinus cardinal, il suffit de filtrer le signal f^*(t), qui est une suite d'impulsions, par un filtre dont la réponse impulsionnelle est un sinus cardinal. Un tel filtre est bien connu : il s'agit du passe-bas idéal. On obtiendra en sortie une reconstruction de f(t), à une constante multiplicative près, et à un retard près. Ce filtre n'est malheureusement pas causal, et donc est irréalisable en temps réel, mais on peut bien sûr l'approcher ; c'est ce qui est réalisé dans toute opération de reconstruction, à l'aide d'un filtre interpolateur. (Les signaux à spectre à support borné sont de durée infinie, ce qui les exclut d'emblée de toute expérimentation : on les approche par des signaux de durée suffisante.)

Illustration : un signal original (-----) comportant une composante à 1 rd/s et une autre à 1,5 rd/s est échantillonné à quatre fois 1,5 rd/s.

Les différents sinus cardinaux (----) pondérés par l'échantillon correspondant sont ajoutés pour reconstituer (-----) le signal. On peut noter une distorsion, dûe bien sûr à la durée finie de la simulation.

Script Matlab de génération de l'image ci-dessus :

Construction de la "base" de sinus cardinaux .

t=-5:0.1:5;, y=sin(t)+sin(1.5*t);

wm=1.5; , we=4*wm;, Te=2*pi/we; , tt=-5:Te:5;

yy=interp1(t,y,tt,'spline');

ysinc=[];

for k=1:10,yyk=yy(k);,ttk=tt(k);,ysinc=[ysinc yyk*sin(wm*(t'-ttk))./(wm*(t'-ttk))];,end

figure,plot(t,y,'-r',t,sum(ysinc'),'-b',t,ysinc,'--m'),grid on

Une dernière remarque : il a été dit que l'échantillonnage vu précédemment ne perdait pas d'information. On constatera pourtant que l'échantillonnage d'un signal à spectre passe-bande étroit donne, une fois reconstruit par un filtre passe-bas, un signal qui se situe dans une bande différente de fréquences. Mais ceci ne modifie pas le contenu informationnel, ce qui rejoint à l'évidence les notions de transposition de fréquence utilisées en transmission. De même, la stroboscopie déplace le spectre sans forcément diminuer la quantité d'information (elle la rend même plus "lisible" à nos yeux).

Les DSP

Le traitement numérique du signal est une technique en plein essor. Cette technique s’appuie sur plusieurs disciplines, citons simplement les principales :

l’électronique analogique et numérique (préparations, conditionnements des signaux, conversions numériques <--> analogiques),
les microprocesseurs (classiques ou dédiés au traitement du signal),
l’informatique (algorithmes, systèmes de développements, exploitations),
les mathématiques du signal (traitements du signal).

Parmi ces disciplines, nous allons nous intéresser plus précisément aux processeurs de traitements des signaux, plus communément désignés par l’acronyme Anglais DSP (Digital Signal Processor).

Les domaines d’applications du traitement numérique du signal sont nombreux et variés (traitements du son, de l’image, synthèse et reconnaissance vocale, analyse, compression de données, télécommunications, automatisme, etc.) Chacun de ces domaines nécessite un système de traitement numérique, dont le cœur est un (parfois plusieurs) DSP ayant une puissance de traitement adaptée, pour un coût économique approprié.

Les microprocesseurs sont en perpétuelle évolution, chaque nouvelle génération est plus performante que l’ancienne, pour un coût moindre. Les DSP, qui sont un type particulier de microprocesseur, n’échappent pas à cette évolution.

Un DSP est un type particulier de microprocesseur. Il se caractérise par le fait qu’il intègre un ensemble de fonctions spéciales. Ces fonctions sont destinées à le rendre particulièrement performant dans le domaine du traitement numérique du signal.

Comme un microprocesseur classique, un DSP est mis en œuvre en lui associant de la mémoire (RAM, ROM) et des périphériques. Un DSP typique servira plutôt dans des systèmes de traitements autonomes. Il se présente donc généralement sous la forme d’un microcontrôleur intégrant, selon les marques et les gammes des constructeurs, de la mémoire, des timers, des ports séries synchrones rapides, des contrôleurs DMA, des ports d’E/S divers.

Un DSP est le cœur d’un système de traitement numérique audio comme le représente la figure 30.

Figure 1 : Représentation d’une chaîne typique d’un système de traitement numérique du signal

Après avoir été numérisé, le signal se présente sous la forme d’une suite de valeurs numériques discrètes. Cette suite de valeurs (ou échantillons) est prête à être stockée et traitée par un système informatique. Par nature, le traitement numérique du signal revient à effectuer essentiellement des opérations arithmétiques de base du type A = (B x C) + D.

Actuellement, un DSP de gamme moyenne effectue une opération MAC (Multiply and ACcumulate) sur des données de 16 bits en moins de 25 nS, soit 40 000 000 opérations par seconde. De telles performances sont indispensables pour effectuer des traitements rapides.

L’opération MAC étant une multiplication suivie d’une addition, un débordement (au sens informatique) de l’accumulateur est toujours possible, c’est-à-dire que l’opération génère un nombre supérieur au plus grand nombre pouvant être manipulé par ce dernier. Pour contourner ce problème, certains DSP possèdent un accumulateur adapté au MAC. Ces accumulateurs ont un format spécial incorporant des bits supplémentaires (bits de garde) par rapport à la taille des données à manipuler. Les problèmes de débordements sont alors contournés, car un programme de traitement correctement conçu ne devrait pas générer des suites d’opérations MAC telles qu’un résultat excède la capacité élargie de l’accumulateur.

Outre l’opération MAC, une autre caractéristique des DSP est leurs capacités à réaliser plusieurs accès mémoire en un seul cycle. Ceci permet à un DSP de chercher en mémoire une instruction et ses données réalisant un MAC, et simultanément, d’y ranger le résultant du MAC précédent. Le gain de temps est évident. Toutefois, sur certains DSP basiques, ce type d’opération simultané est généralement limité à des instructions spéciales. Ces instructions utilisent un mode d’adressage restreint, c’est à dire ne portant que sur de la mémoire vive intégrée au DSP.

Les modes d’adressages des données sont un point particulier des DSP. Un DSP peut posséder plusieurs unités logiques de génération d’adresses, travaillant en parallèle avec la logique du cœur du DSP. Une unité logique de génération d’adresses est paramétrée une seule fois via les registres appropriés. Elle génère alors toute seule, en parallèle avec l’exécution d’une opération arithmétique, les adresses nécessaires à l’accès des données.

Ceci permet non seulement de réaliser les accès mémoires simultanés en un seul cycle, comme cela est décrit plus haut, mais également d’incrémenter automatiquement les adresses générées. Ce mode d’adressage particulier, généralement appelé adressage indirect par registre avec post (ou pré) incrément, est très utilisé pour effectuer des calculs répétitifs sur une série de données rangées séquentiellement en mémoire.

Si l’on ajoute la possibilité de générer ces adresses selon un modulo paramétrable, ce mode d’adressage devient circulaire, et permet donc de créer des buffers circulaires en mémoire. L’adressage circulaire indirecte (parfois également indexé) par registre avec post (ou pré) incrément prends toute son importance quand il est utilisé pour accéder aux opérandes d’un MAC.

Tableau des contrôleurs MIDI

N° de contrôleur	Fonction MIDI	N° de contrôleur	Fonction MIDI	N° de contrôleur	Fonction MIDI	N° de contrôleur	Fonction MIDI
O	Bank Select MSB	32	Bank Select LSB	64	Sustain Pedal	96	Data Increment
1	Modulation	33	Modulation LSB	65	Porta Pedal	97	Data decrement
2	Breath Control	34	Breath Control LSB	66	Sostenuto Pedal	98	NRPN LSB
3	Control 3	35	Aftertouch LSB	67	Soft Pedal	99	NRPN MSB
4	Foot Control	36	Foot Control LSB	68	Legato Footswitch	100	RPN LSB
5	Portamento Time	37	Portamento Time LSB	69	Hold Pedal 2	101	RPN MSB
6	Data Entry MSB	38	Data Entry LSB	70	Sound Variation	102	Control 102
7	Volume	39	Volume LSB	71	Resonnance	103	Control 103
8	Balance	40	Balance LSB	72	Release Time	104	Control 104
9	Control 9	41	Control 41(Control 9 LSB)	73	Attack Time	105	Control 105
10	Pan	42	Pan LSB	74	LPF Cutoff	106	Control 106
11	Expression	43	Expression LSB	75	Control 75	107	Control 107
12	Control 12	44	Control 44(Control 12 LSB)	76	Control 76	108	Control 108
13	Control 13	45	Control 45(Control 13 LSB)	77	Control 77	109	Control 109
14	Control 14	46	Control 46(Control 14 LSB)	78	Control 78	110	Control 110
15	Control 15	47	Control 47(Control 15 LSB)	79	Control 79	111	Control 111
16	Control 16	48	Control 48(Control 16 LSB)	80	Control 80	112	Control 112
17	Control 17	49	Control 49(Control 17 LSB)	81	Control 81	113	Control 113
18	Control 18	50	Control 50(Control 18 LSB)	82	Control 82	114	Control 114
19	Control 19	51	Control 51(Control 19 LSB)	83	Control 83	115	Control 115
20	Control 20	52	Control 52(Control 20 LSB)	84	Portamento	116	Control 116
21	Control 21	53	Control 53(Control 21 LSB)	85	Control 85	117	Control 117
22	Control 22	54	Control 54(Control 22 LSB)	86	Control 86	118	Control 118
23	Control 23	55	Control 55(Control 23 LSB)	87	Control 87	119	Control 119
24	Control 24	56	Control 56(Control 24 LSB)	88	Control 88	120	All Sound off
25	Control 25	57	Control 57(Control 25 LSB)	89	Control 89	121	Reset all Controllers
26	Control 26	58	Control 58(Control 26 LSB)	90	Control 90	122	Local Control
27	Control 27	59	Control 59(Control 27 LSB)	91	Reverb	123	All Note off
28	Control 28	60	Control 60(Control 28 LSB)	92	Tremolo depth	124	Omni Mode off
29	Control 29	61	Control 61(Control 29 LSB)	93	Chorus Depth	125	Omni Mode on
30	Control 30	62	Control 62(Control 30 LSB)	94	Detune	126	Mono Mode on
31	Control 31	63	Control 63(Control 31 LSB)	95	Phaser Depth	127	Poly Mode on